Wie viele Kombinationen gibt es bei 4 Farben

 "Wie viele Möglichkeiten gibt es...

Wir untersuchen die beiden Fragen zuerst an Beispielen und lösen sie dann allgemein. 

Wenn die Reihenfolge der ausgewählten Elemente berücksichtigt wird, spricht man von Variationen, sonst von Kombinationen.

Zur allgemeinen Lösung für

• Beispiel n=3:Wir haben 3 verschiedene Objekte. Wie viele verschiedene Reihenfolgen gibt es, diese Objekte anzuordnen ?

Die Objekte seine die Zahlen 1,2,3. Dann gibt es für das erste Objekt 3 Möglichkeiten, für das zweite Objekt gibt es noch jeweils 2 Möglichkeiten, für das dritte Objekt gibt es jeweils nur noch eine Möglichkeit. Insgesamt haben wir

3! = 3·2·1 = 6 Möglichkeiten:
123, 132, 213, 231, 312, 321
• Allgemeiner Fall: Wir haben n verschiedene Objekte. Wie viele verschiedene Reihenfolgen gibt es, diese Objekte anzuordnen ?

Die Objekte seine die Zahlen 1,2,3,...n. Dann gibt es für das erste Objekt n Möglichkeiten, für das zweite Objekt gibt es noch jeweils n-1 Möglichkeiten, für das dritte Objekt gibt es jeweils noch (n-2) Möglichkeiten, für das letzte (n-te) Objekt nur noch eine Möglichkeit. Insgesamt haben wir

n! = n·(n-1)·(n-2)·....·3·2·1 Möglichkeiten.

• mit Reihenfolge mit Wiederholung (Variationen mit Wiederholung):
• Beispiel: Auswahl von k=2 Objekten aus einer Menge mit n=4 Objekten mit Wiederholung und mit Berücksichtigung der Reihenfolge.

Für das erste Objekt können wir aus 4 Möglichkeiten wählen, für das zweite auch. Insgesamt sind es 4·4 = 16 Möglichkeiten:
11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44
• Allgemeiner Fall: Auswahl von k Objekten aus einer Menge mit n Objekten mit Wiederholung und mit Berücksichtigung der Reihenfolge.

Für das erste Objekt können wir aus n Möglichkeiten wählen, für das zweite auch, für die folgenden ebenso. Insgesamt sind es k Wahlen, die wir treffen Die Möglichkeiten ergeben sich also dadurch, dass wir die Zahl n k-mal mit sich selbst multiplizieren: nk Möglichkeiten.
• mit Reihenfolge ohne Wiederholung (Variationen ohne Wiederholung):
• Beispiel: Auswahl von k=2 Objekten aus einer Menge mit n=4 Objekten ohne Wiederholung und mit Berücksichtigung der Reihenfolge.

Für das erste Objekt können wir aus 4 Möglichkeiten wählen, für das zweite bleiben nur nach 3. Insgesamt sind es 4·3 = 12 Möglichkeiten:
12, 13, 14, 21, 23, 24, 31, 32, 34, 41, 42, 43
• Allgemeiner Fall: Auswahl von k Objekten aus einer Menge mit n Objekten ohne Wiederholung und mit Berücksichtigung der Reihenfolge.

Für das erste Objekt können wir aus n Möglichkeiten wählen, für das zweite nur nach (n-1), für die folgenden jeweils eines weniger. Insgesamt sind es k Wahlen, die wir treffen Die Möglichkeiten ergeben sich also zu: n·(n-1)·(n-2)·...·(n-k+1) = n! / (n-k)! Möglichkeiten.
• ohne Reihenfolge ohne Wiederholung (Kombinationen ohne Wiederholung):
• Beispiel: Auswahl von k=2 Objekten aus einer Menge mit n=4 Objekten ohne Wiederholung und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge.

Mit Reihenfolge ergaben sich 12 Möglichkeiten, nämlich 12, 13, 14, 21, 23, 24, 31, 32, 34, 41, 42, 43. Jetzt identifizieren wir Elemente, die durch Vertauschungen zwischen den 2 Objekten entstehen, also 12 = 21, 23 = 32,... . Bei k=2 stelligen Elementen gibt es zu jedem 2·1 = 2! Elemente, die wir nun als identisch ansehen. Es bleiben also nur noch 12:2= 6 Möglichkeiten: 12, 13, 14, 23, 24, 34
• Allgemeiner Fall: Auswahl von k Objekten aus einer Menge mit n Objekten ohne Wiederholung und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge.

Mit Reihenfolge ergaben sich n!/(n-k)! Möglichkeiten. Jetzt identifizieren wir Elemente, die durch Vertauschungen zwischen den k ausgewählten Objekten entstehen. Bei k-stelligen Elementen gibt es zu jedem k! Umsortierungen, die wir nun als identisch ansehen. Es bleiben also nur noch


Möglichkeiten.

• ohne Reihenfolge mit Wiederholung (Kombinationen mit Wiederholung):
• Beispiel: Auswahl von k=2 Objekten aus einer Menge mit n=4 Objekten mit Wiederholung und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge.

Hier ergab sich: 11, 12, 13, 14, 22, 23, 24, 33, 34, 44 Wir können also annehmen, dass die Zahlen steigend sortiert sind.
• Allgemeiner Fall: Auswahl von k Objekten aus einer Menge mit n Objekten mit Wiederholung und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge.

Es sollen aus den Zahlen 1,2,3,...,n jeweils k Zahlen ausgewählt werden. Da die Reihenfolge keine Rolle spielt, können wir annehmen, dass die Elemente monoton steigend geordnet sind. Wählt man z.B. n=5 und k = 3, so ist 223 eine mögliche Wahl. Wir erweitern nun die k=3 Positionen durch Hinzufügung von Trennzeichen beim Wechsel zur um 1 höheren Zahl um n - 1 Positionen und stellen eine Zahl durch das # Zeichen dar. Dann erhalten  wir für 223 die Darstellung |##|#|| . (Der vordere Trennstrich bedeutet Übergang von 1 zu 2, die nächsten ## bedeuten dann zweimal die Zahl 2; dann Übergang zur 3. # ist einmal die Zahl 3, und die Trennstriche zum Übergang auf 4 und auf  5 dürfen nicht weggelassen werden.)  Ebenso ist ###|||| = 111, ||||### = 555, ||##||# = 335). Jede ausgewählte Zahl lässt sich also durch Kombination von 3 (im allgemeinen k) # Zeichen und 4 (im allgemeinen n-1) Trennstrichen eindeutig darstellen. Die Aufgabe heißt jetzt: Wähle aus insgesamt k+n-1 Positionen beliebig die Positionen für k Zahlzeichen (#) aus. Dafür gibt es


Möglichkeiten.

In der Wahrscheinlichkeitsrechnung werdet ihr sicher irgendwann ausrechnen müssen, wie viele Möglichkeiten oder Anordnungen es bei einem Experiment gibt. Also konkret: Wie viele mögliche Ereignisse gibt es? Um diese zu berechnen, kommt es immer darauf an, wie das Experiment aufgebaut ist:

Übersicht

Dies ist der Fall, wenn man beispielsweise 5 Leute hat und ausrechnen will, wie viele Möglichkeiten es gibt sie nebeneinander zustellen. Dies berechnet sich relativ leicht, ihr nehmt einfach die Fakultät der Anzahl von Leuten bzw. den Objekten, die ihr anordnen wollt. Wichtig dabei das aber alle Objekte unterscheidbar sind. n ist die Anzahl an Objekten:

n!

Beispiele der Anwendung:

• 5 Leute auf 5 Stühle setzen
• 10 Autos in 10 Parklücken einordnen

Aufgabe zum Üben:

Möchtet ihr mehr üben? Wir haben ein Arbeitsblatt zur Kombinatorik für euch.

Habt ihr also mehrere Objekte, von denen aber manche gleich sind und ihr wissen wollt, wie man sie anordnen kann, berechnet man es folgendermaßen:

1. Nehmt die Fakultät der Objekte insgesamt, also wie viele es sind
2. Teilt dies durch die Fakultät aller gleichen Objekte, habt ihr also zum Beispiel 6 Kugeln davon sind 4 gleich und noch mal 2 gleich, dann teilt ihr also durch 4! · 2!.

Beispiel: Ihr habt n Kugeln und zieht eine nach der anderen aber davon sind k1 rot, k2 schwarz, k3 blau..., also die sind gleich. Dann berechnet ihr das so:

Beispiele der Anwendung:

• 3 VW´s und 2 Volvos in 5 Parklücken (n=5, k1=3, k2=2)
• Reihenfolge beim ziehen von 4 roten und 2 blauen Kugeln (n=6, k1=4, k2=2)

Aufgabe zum Üben:

Möchtet ihr mehr üben? Wir haben ein Arbeitsblatt zur Kombinatorik für euch.

Unter Betrachtung der Reihenfolge versteht man, dass es auch wichtig ist, welches Ereignis, wann eingetreten ist.

Sollt ihr die Anzahl an möglichen Ereignissen berechnen, wobei man nicht "zurücklegt" also ein Ereignis nicht doppelt vorkommen darf, könnt ihr euch das immer als Anordnungsproblem vorstellen, also wie viele Möglichkeiten gibt es diese Kombinationen anzuordnen, dann macht man das so:

1. Nehmt wieder die Fakultät der gesamten Anzahl an Objekten, die zur Auswahl stehen
2. Das teilt ihr dann durch die Fakultät der Anzahl an Objekten, die übrig bleiben, also nicht ausgesucht werden. Sucht man also zum Beispiel 3 aus 5 Kugeln aus teilt man durch 2!, da ja 2 Kugeln übrig bleiben.

Allgemein also (n ist die Anzahl der Kugeln insgesamt und k die Anzahl an ausgesuchten Kugeln):

Beispiele der Anwendung:

• 3 aus 5 Kugeln ziehen, wobei wichtig ist welche zuerst und welche zuletzt gezogen wird. Es macht also einen unterschied, ob erst z.B. eine blaue Kugel gezogen wurde und dann die rote oder umgekehrt, dass sind dann unter Betrachtung der Reihenfolge 2 verschiedene Ergebnisse.

Aufgabe zum Üben:

Noch Übung nötig? Wir haben ein Arbeitsblatt zur Kombinatorik für euch.

Sollt ihr die Anzahl an Möglichkeiten ausrechnen, wenn man aus Objekten welche aussuchen muss, aber auch Objekte mehrfach aussuchen kann (z.B. nach jedem Ziehen die Kugel wieder zurück in den Lostopf), wobei die Reihenfolge auch wichtig ist, dann macht ihr das, indem ihr einfach die Anzahl der gesamten Objekte hoch die Anzahl nimmt, die man aussucht.

(n ist die Anzahl der Elemente (oder Möglichkeiten) und k die Anzahl an "Ziehungen")

nk

Beispiele der Anwendung:

• Zahlenschloss mit 3 Einstellungsstellen (3 Ringe an denen man die Zahl hin dreht) und je 10 Zahlen. (n=10 und k=3). Ihr könnt ja an jeder Stelle des Schlosses noch mal z.B. die 9 einstellen, daher mit Mehrfachauswahl.
• Eine Binärzahl kennt 2 Zustände (0 und 1). Mit einer Reihenfolge von 10 Zahlen können 2 hoch 10 verschiedene Variationen entstehen. (n=2 und n=10)

Aufgabe zum Üben:

Weitere Aufgaben findet ihr im Arbeitsblatt zur Kombinatorik.

Ohne Betrachtung der Reihenfolge bedeutet es ist egal, ob erst die eine Kugel und dann die andere gezogen wurde oder umgekehrt. Da sind beide Ereignisse gleichbedeutend. Die folgenden Berechnungen sind ohne Betrachtung der Reihenfolge:

(zum Thema Binomialkoeffizienten geht´s HIER) Sollt ihr die Anzahl an möglichen Ereignissen berechnen, wobei man nicht "zurücklegt", also ein Ereignis nicht doppelt vorkommen darf, (ihr berechnet also, wie viele mögliche Kombinationen es gibt) ohne Betrachtung der Reihenfolge, macht ihr das so (n ist die Anzahl der Elemente und k die Anzahl an Auswahlen):

Anwendungsbeispiel:

• Lotto 6 aus 49, also man zieht 6 Kugeln aus 49, dabei ist die Reihenfolge ja egal, ob erst die 3 gezogen wird oder zuletzt, macht ja keinen Unterschied. (n=49 und k=6)
• Mehrfachwurf einer Münze, wobei die Anzahl an Möglichkeiten berechnet werden soll, wenn beispielsweise 2 mal Kopf vorkommen soll. (n=Anzahl an Würfen und k=Anzahl an Kopf Würfen)

Aufgabe zum Üben:

Weitere Aufgaben findet ihr im Arbeitsblatt zur Kombinatorik.

Die Anzahl der möglichen Ereignisse, wobei wieder "zurücklegt" bzw. die Ergebnisse mehrfach vorkommen dürfen, ohne Betrachtung der Reihenfolge. Die Berechnung sieht so aus (n ist die Anzahl der Kugeln insgesamt und k die Anzahl der Kugeln die man aussucht):

Anwendungsbeispiel:

• 4 Kugeln werden aus einem Topf von 6 Kugeln gezogen, dabei wird nach jedem mal die Kugel gleich wieder zurückgelegt.

Aufgabe zum Üben:

Wenn ihr mehr für dieses Thema üben möchtet könnt ihr euch unser kostenloses Arbeitsblatt downloaden. Es enthält Aufgaben zu allen oben beschriebenen Fällen inklusive Lösungen.

Arbeitsblatt Kombinatorik