 Show Flächeninhalt = Pi * Radius² Umfang = 2 * pi * Radius Durchmesser = 2 * Radius Für einen Kreis gelten folgende Formeln: Der Flächeninhalt ist gleich A=π·r2 und der Umfang gleich U=2·π·r, wobei π (sprich: Pi) die Kreiszahl (ungefähr 3,14) ist. Gib doch einfach mal in die Eingabefelder oben ein paar Werte ein und klick auf "Berechnen". Dann siehst du es. Zunächst einmal gibt es Geraden, die den Kreis nicht schneiden; man nennt sie Passanten. Außerdem gibt es Geraden, die den Kreis zweimal schneiden: man nennt sie Sekanten. Die interessantesten aber sind die Geraden, die den Kreis genau einmal berühren: man nennt sie Tangenten. Bewege die Maus über eines der unten stehenden Wörter, und das entsprechende Teil wird auf dem Kreis unten farbig markiert.
Die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts $$A$$ eines Kreises mit dem Radius $$r$$ lautet: $$A=pi r^2$$. Wenn dich interessiert, wie man die Formel begründen kann, dann schau dir die nächste Seite an. $$pi$$ ist keine rationale Zahl. Das heißt, sie ist nicht als Bruch darstellbar und hat unendlich viele Stellen nach dem Komma. Nimm einen beliebig großen Kreis und unterteile diesen in beliebig viele gleich große Teile (beispielsweise 16 Teile). Zerschneide nun die Kreisfläche in diese 16 Teile und lege 15 davon so nebeneinander, dass sie eine Figur ergeben, die einem Rechteck ähnelt. (Der 16. Teil wird halbiert und links und rechts angelegt.) Der Flächeninhalt des so entstandenen Rechtecks wird berechnet durch Länge mal Breite. Die Länge dieses gebastelten Rechtecks entspricht in etwa dem halben Umfang des Kreises ($$1/2u=1/2*2pir$$). Die Breite entspricht ungefähr dem Radius $$r$$. Demnach gilt: $$A$$ $$=$$ Länge mal Breite $$A = 1/2*2pir*r$$ $$A = pir^2$$ Flächeninhalt eines Kreises: $$A = pir^2$$ Hinweis: Wenn du keinen Taschenrecher mit $$pi$$-Taste hast, rechne mit $$pi approx 3,14$$. Flächeninhalt eines Kreises: $$A = pir^2$$ Hinweis: Wenn du keinen Taschenrecher mit $$pi$$-Taste hast, rechne mit $$pi approx 3,14$$. Zur Erinnerung: Der Durchmesser ist das Doppelte vom Radius. $$d = 2*r$$ kapiert.dekann mehr:
Berechne den Flächeninhalt der Uhr, die du im Bild siehst. Der Radius der Uhr beträgt $$15$$ $$cm$$. $$A = pi * r^2$$ $$A = pi * (15 cm)^2$$ $$A = pi * 225 cm^2$$ $$A approx 706,9 cm^2$$ Die Fläche der Uhr beträgt also ungefähr $$706,9 cm^2$$. Im Restaurant bekommst du dein Getränk oft mit einem Pappuntersetzer. Die runden Untersetzer haben einen Durchmesser von $$d = 107$$ $$mm$$. Berechne den Flächeninhalt. Um die Flächenformel anwenden zu können, benötigst du zunächst den Radius. $$r = d/2 = (107 mm)/2 = 53,5 mm$$ Nun kannst du die Fläche berechnen. $$A = pi r^2$$ $$A = pi * (53,5 mm)^2$$ $$A approx 8992 mm^2$$ Die Fläche des Bierdeckels beträgt also ungefähr $$8992$$ $$mm^2$$ oder umgerechnet $$89,92$$ $$cm^2$$. Der Flächeninhalt einer Frisbeescheibe ist gegeben mit $$530$$ $$cm^2$$. Berechne den Radius und den Durchmesser der Frisbeescheibe. $$A = pir^2$$ $$530 cm^2 = pir^2$$ $$(530 cm^2)/pi = r^2$$ $$sqrt((530 cm^2)/pi) = r$$ $$13 cm approx r$$ Der Radius der Frisbeescheibe beträgt ungefähr $$13$$ $$cm$$. Da du weißt, dass der Durchmesser das Doppelte vom Radius ist, musst du das Ergebnis nur mal zwei nehmen, um den Durchmesser zu berechnen. Der Durchmesser der Frisbeescheibe beträgt demach ungefähr $$26$$ $$cm$$. $$A = pi * r^2$$ $$r = sqrt(A/pi)$$ $$d = 2r$$ kapiert.dekann mehr:
Der Durchmesser der abgebildeten CD beträgt $$12$$ $$cm$$ und der Radius demnach $$6$$ $$cm$$. Bild: Anders ARTig Werbung + Verlag GmbH Berechne den Flächeninhalt. $$A = pir^2$$ $$A = pi (6 cm)^2$$ $$A approx 113 cm^2$$ Nun hat die CD aber ein Loch. Demnach müssen wir den Flächeninhalt des Lochs von unserem Ergebnis abziehen. Der Durchmesser des Lochs beträgt $$1,5$$ $$cm$$. Demnach beträgt der Radius des Lochs $$0,75$$ $$cm$$ und der Flächeninhalt ungefähr $$1,77$$ $$cm^2$$. $$A = pir^2$$ $$A = pi (0,75 cm)^2$$ $$A approx 1,77 cm^2$$ Der eigentliche Flächeninhalt der CD beträgt also $$111,23$$ $$cm^2$$. $$113$$ $$cm^2$$ $$-$$ $$1,77$$ $$cm^2$$ $$=$$ $$111,23$$ $$cm^2$$. $$A = pi * r^2$$ $$r = d/2$$
Bevor man mit Kreisflächen arbeitet, sollte man sich erst einmal überlegen, was unter einer Kreisfläche zu verstehen ist:
A = π * r2 ganz leicht die Kreisfläche berechnen. Online Kreis-Rechner – Kreisumfang + Kreisfläche berechnenDieser Kreisrechner basiert auf dem Rechner für Kreise von Arndt Brünner. Herleitung der Kreisflächen FormelKreisflächen berechnen können ist das eine, verstehen wie es zu der Formel kommt das andere. Man kann die Herleitung bzw den Beweis auf verschiedene Arten führen. Zum Beispiel über das Integral einer Kreisfunktion, über eine Intervallschachtelung mit Vielecken a la Archimedes oder am anschaulichsten über das Zerlegen des Kreises in Teilstücke, die man dann in eine rechteckige Form einzubetten versucht. Siehe u.a. bei den Mathematischen Basteleien. Das folgende Youtube Video zeigt die Variante mit dem Zerlegen des Kreises in Teilstücke. Wer spielerisch die Entstehung der Formel zur Kreisflächenberechnung erleben möchte, der kann das mit Hilfe der genialen Geometrie Software GeoGebra tun. Die folgende interaktive App zeigt, wie eine Kreisfläche in Kreissektoren zerlegt wird und die Einzelteile dann am Umfang abgewickelt und geschickt umarrangiert werden. Ihr müsst einfach mal mit den drei horizontalen Reglern rumspielen. Dann seht ihr, wie sich der Kreis abwickelt, die Sektoren immer feiner werden und am Ende sich alles zu einer rechteckigen Fläche verzahnt – schöner kann man die Transformation von Kreisfläche zu Rechteck kaum darstellen. Mit zunehmender Unterteilung passt sich die Fläche immer mehr der Fläche eines Rechtecks mit der Höhe des Kreisradius und der halben Länge des Kreisumfangs an. Bekanntlich ist die Formel für den Flächeninhalt eines Rechtecks Höhe mal Breite – hieraus ergibt sich dann für die assoziierte Kreisfläche r*π*r – und damit die gesuchte Kreisflächenformel. Hinweis zu Bildrechten: Wikipedia (der GNU-Lizenz für freie Dokumentation) – Ein Kreis mit Mittelpunkt, Radius und Durchmesser – @ Sven |
Wie berechnet man die fläche eines kreises
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