Wenn beim Teilen einer Zahl durch eine andere Zahl kein Rest bleibt, dann sagen wir, dass die erste Zahl durch die zweite Zahl teilbar ist. Bei großen Zahlen ist es oft schwierig zu sagen, ob sie teilbar sind oder nicht. Dabei helfen uns Teilbarkeitsregeln. Teilbarkeitsregeln sagen dir, wie du überprüfen kannst, ob eine Zahl durch eine bestimmte Zahl teilbar ist. Das funktioniert auch bei großen Zahlen. Show Wir wollen uns im Folgenden anschauen, woran man erkennt, ob eine Zahl durch $4$ und ob eine Zahl durch $8$ teilbar ist. Teilbarkeitsregel 4 einfach erklärtBei kleineren Zahlen kannst du meist direkt erkennen, ob sie durch $4$ teilbar sind. Betrachten wir zum Beispiel die Zahl $44$. Sie ist durch $4$ teilbar, weil gilt: $44 = 4 \cdot 11$. Bei größeren Zahlen wie $100$ ist es schon schwieriger. Können wir $100$ ohne Rest durch $4$ teilen?  Hier haben wir $100$ Kreise in vier Blöcke zu je $25$ Kreisen aufgeteilt – dabei bleibt kein Rest. Wir sehen also, dass die Division aufgeht. Die Zahl $100$ ist also durch $4$ teilbar und damit auch alle Vielfachen von $100$. Wenn wir uns jetzt größere Zahlen anschauen, zum Beispiel $944$, dann können wir die Zahl in ihre Hunderter und den Rest, also $44$, zerlegen. Da wir bereits wissen, dass $900 = 9 \cdot 100$ durch $4$ teilbar ist, reicht es zu überprüfen, ob $44$ durch $4$ teilbar ist. Wir müssen also nur die letzten beiden Ziffern betrachten. Wir wissen auch schon, dass die $44$ durch $4$ teilbar ist. Damit ist auch die $944$ durch $4$ teilbar. Du kannst dir merken:
Teilbarkeitsregel 8 einfach erklärtFür die Teilbarkeit durch $8$ schauen wir zunächst, ob wir die Zahl $1~000$ ohne Rest durch $8$ teilen können: Wir haben zunächst ausgenutzt, dass wir $100$ in $4$ Blöcke zu je $25$ Kreisen aufteilen können. Wir können also $800$ in $8$ solcher Blöcke aufteilen. Dann fehlen noch $200$ zur $1~000$. Die $200$ können wir in $2$ Viererblöcke oder in $8$ $25$er-Blöcke aufteilen. Wenn wir die $25$er-Blöcke gleichmäßig auf die $8$ $100$er-Blöcke verteilen, erhalten wir $8$ gleich große Blöcke, die zusammen $1\,000$ ergeben – ohne Rest! Wir sehen also, dass die Division aufgeht. $1~000$ ist also durch $8$ teilbar und damit auch alle Vielfachen von $1~000$. Wenn wir uns jetzt große Zahlen anschauen, zum Beispiel $5~800$, dann können wir die Zahl in ihre Tausender und den Rest, also $800$, zerlegen. Wir wissen bereits, dass $5~000 = 5 \cdot 1~000$ durch $8$ teilbar ist. Daher reicht es zu überprüfen, ob $800$ durch $8$ teilbar ist. Wir müssen also nur die letzten drei Ziffern betrachten.
Teilbarkeitsregeln der Zahlen 4 und 8 – Beispiele
In diesem Video zu den Teilbarkeitsregeln der Zahlen 4 und 8 ...... zeigen wir dir, wie du schnell herausfinden kannst, ob eine Zahl ohne Rest durch $4$ oder $8$ teilbar ist. Im Anschluss an das Video findest du zudem Übungen zu den Teilbarkeitsregeln für $4$ und $8$.
Teilbarkeitsregeln Bevor wir zur Bruchrechung kommen, brauchen wir noch ein paar Grundlagen zur Teilbarkeit, Primzahlenzerlegung, dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen und dem größten gemeinsamen Teiler. Folgende Sätze müssen wir für die Teilbarkeitsregeln lernen: Satz: Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn die letzte Ziffer durch 2 teilbar ist. Beispiel: 14 ist durch 2 teilbar, da 4/2=2 ist. 113 ist nicht durch 2 teilbar, da 3/2=1 Rest 1 ist. Satz: Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn die Zahl aus den letzten beiden Ziffern durch 4 teilbar ist. Beispiel: 124 ist durch 4 teilbar, da 24/4=6 ist. 114 ist nicht durch 4 teilbar, da 14/4=3 Rest 2 ist. Satz: Eine Zahl ist durch 8 teilbar, wenn die Zahl aus den letzten 3 Ziffern durch 8 teilbar ist. Anmerkung: Es ist nicht ganz einfach im Kopf nachzurechnen, ob sich eine dreistellige Zahl durch 8 teilen läßt. Man kann die Teilbarkeit in zwei Schritten prüfen:
Beispiel: 1080 ist durch 8 teilbar, da 80/8=10 ist. 1010 ist nicht durch 8 teilbar, da 10/8=1 Rest 2 ist. Satz: Die Quersumme einer Zahl ist die Zumme aller Ziffern. Beispiel: Die Quersumme von 152 ist 1+5+2=8. Die Quersumme von 9 ist 9. Die Quersumme von 10 ist 1+0=1. Satz: Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn die Quersumme durch 3 teilbar ist. Beispiel: Die Quersumme von 1080 ist 9. 9 ist durch 3 teilbar, also ist auch 1080 durch 3 teilbar. Satz: Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn die Quersumme durch 9 teilbar ist. Beispiel: Die Quersumme von 6012 ist 9. 9 ist durch 9 teilbar, also ist auch 6012 durch 9 teilbar. Satz: Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn die letzte Ziffer eine 5 oder eine 0 ist. Beispiel: Die Zahlen 5, 45, 50 oder auch 1005 sind durch 5 teilbar. Satz: Eine Zahl ist durch 10 teilbar, wenn die letzte Ziffer 0 ist. Beispiel: Die Zahlen 10, 200, 510 oder auch 1100 sind durch 10 teilbar. Die hier vorgestellten Teilbarkeitsregeln sind relativ einfach zu prüfen. Deshalb beschränken wir uns auf diese Teiler. Für Zahlen, die man als Produkt von zwei anderen Zahlen schreiben, kann man die Teilbarkeit für beide Faktoren prüfen. Ist diese erfüllt, so kann man die Zahl auch durch das Produkt teilen. Z.B. 6=2∙3. Die Zahl 12 kann man sowohl durch zwei als auch durch 3 teilen, somit kann man 12 auch durch 6 teilen.
BeispieleDie Probe ist korrekt, wenn bei der Division eine ganze Zahl herauskommt. Die Zahl ist dann durch die genannte Zahl teilbar.
GegenbeispieleDie Probe ist nicht korrekt, wenn bei der Division ein Rest übrig bleibt (bzw. sich eine Kommazahl ergibt). Die Zahl ist dann durch die genannte Zahl nicht teilbar.
Für die Herleitung der Teilbarkeitsregel durch die Zahl 8 bedienen wir uns einer Hilfszahl, der Zahl 1000. Sie ist nämlich durch 8 teilbar! Wir nehmen eine beliebige Zahl an, z.B. Da wir bereits wissen, dass 1000 durch 8 teilbar ist, zerlegen wir unsere Zahl in eine Tausenderzahl und dem was übrig bleibt: Da jede Tausenderzahl durch 8 teilbar ist, ist auch 82000 durch 8 teilbar. Wir müssen also nur noch herausfinden ob 128 durch 8 teilbar ist:
128 ist als durch 8 (ohne Rest) teilbar, also ist auch 82128 durch 8 teilbar. Teilbarkeit durch 8: Eine Zahl ist durch 8 teilbar, wenn die aus den letzten 3 Ziffern gebildete Zahl durch 8 teilbar ist. |
Wann ist eine zahl durch 8 teilbar
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