Wann ist eine Funktion linear und wann nicht

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Funktionsgleichung aufstellen
Schnittpunkt zweier Geraden
Orthogonale Geraden

Dieser Artikel behandelt die Funktionen in der elementaren Analysis. Für lineare Funktionen in der linearen Algebra siehe Lineare Abbildung.

Als lineare Funktion wird oft (insbesondere in der Schulmathematik) eine Funktion $f : R → R {\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

der Form

f ( x ) = m ⋅ x + n ; m , n ∈ R , {\displaystyle f(x)=m\cdot x+n;\quad m,n\in \mathbb {R} ,}

also eine Polynomfunktion höchstens ersten Grades, bezeichnet.

Es handelt sich dabei jedoch nicht um eine lineare Abbildung im Sinne der linearen Algebra, sondern um eine affine Abbildung, da die Linearitätsbedingung im Allgemeinen nicht erfüllt ist. Man spricht deswegen auch von einer affin-linearen Funktion. Um eine lineare Abbildung bzw. lineare Funktion im Sinne der linearen Algebra handelt es sich nur im Spezialfall $n = 0 {\displaystyle n=0}$

, also

f ( x ) = m x . {\displaystyle f(x)=mx.}

Solche Funktionen werden auch als homogene lineare Funktion oder Proportionalität bezeichnet. In Anlehnung an diese Bezeichnung wird die Funktion für den Fall

n ≠ 0 {\displaystyle n\neq 0}

auch allgemeine lineare Funktion oder linear-inhomogene Funktion genannt. In diesem Artikel wird die häufig verwendete Bezeichnung lineare Funktion beibehalten.

Lineare Funktionen gehören zu den relativ einfachen Funktionen in der Mathematik. Sie sind stetig und differenzierbar. Viele Probleme lassen sich für lineare Funktionen leicht lösen; daher versucht man oft, komplizierte Problemstellungen durch lineare Zusammenhänge zu approximieren.

Steigungsdreiecke am Graph der linearen Funktion

x ↦ 1 2 x + 2 {\displaystyle x\mapsto {\tfrac {1}{2}}x+2}

Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade. In kartesischen Koordinaten $( x | y ) {\displaystyle (x|y)}$ gilt

y = m ⋅ x + n {\displaystyle y=m\cdot x+n}

mit reellen Zahlen $m {\displaystyle m}$ und $n , {\displaystyle n,}$ wobei $x {\displaystyle x}$ (die Abszisse) eine unabhängige und $y {\displaystyle y}$ (die Ordinate) die abhängige Variable ist.

Es gibt zahlreiche andere Bezeichnungskonventionen für den Funktionsterm, z. B. $a x + b , {\displaystyle ax+b,}$ $m x + c , {\displaystyle mx+c,}$ $m x + b {\displaystyle mx+b}$ oder $m x + t . {\displaystyle mx+t.}$ In Österreich wird häufig $y = k x + d {\displaystyle y=kx+d}$ verwendet, in der Schweiz hingegen $y = m x + q . {\displaystyle y=mx+q.}$ In Belgien findet man auch $y = m x + p {\displaystyle y=mx+p}$ oder $y = k x + t . {\displaystyle y=kx+t.}$

Diese Darstellung bezeichnet man auch als die Normalform einer linearen Funktion. Ihre zwei Parameter lassen sich wie folgt interpretieren:

Die Zahl $m {\displaystyle m}$ gibt die Steigung der Geraden an.
Die Zahl $n {\displaystyle n}$ ist der y-Achsen- oder Ordinatenabschnitt, die Inhomogenität oder die Verschiebungskonstante.

Der Graph einer linearen Funktion verläuft nie parallel zur y-Achse, da damit einem $x {\displaystyle x}$ mehr als ein $y {\displaystyle y}$ zugeordnet wäre, was in Widerspruch zur definitorisch geforderten (Rechts-)Eindeutigkeit einer Funktion stünde.

Steigung einer linearen Funktion durch zwei gegebene Punkte

Es wird vorausgesetzt, dass die Punkte $( x 1 | y 1 ) {\displaystyle (x_{1}|y_{1})}$ und $( x 2 | y 2 ) {\displaystyle (x_{2}|y_{2})}$ auf dem Graphen der linearen Funktion $f {\displaystyle f}$ liegen und voneinander verschieden sind.

Die Steigung $m {\displaystyle m}$ lässt sich berechnen mit

m = y 2 − y 1 x 2 − x 1 . {\displaystyle m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}.}

Der y-Achsenabschnitt $n {\displaystyle n}$ ergibt sich mit

n = y 1 − m ⋅ x 1 {\displaystyle n=y_{1}-m\cdot x_{1}}

oder

n = y 2 − m ⋅ x 2 . {\displaystyle n=y_{2}-m\cdot x_{2}.}

Der gesuchte Funktionsterm $f ( x ) {\displaystyle f(x)}$ ist also gegeben durch

f ( x ) = y 2 − y 1 x 2 − x 1 ⋅ x + ( y 1 − y 2 − y 1 x 2 − x 1 ⋅ x 1 ) {\displaystyle f(x)={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\cdot x+\left(y_{1}-{\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\cdot x_{1}\right)}

oder einfacher durch

f ( x ) = y 2 − y 1 x 2 − x 1 ⋅ ( x − x 1 ) + y 1 . {\displaystyle f(x)={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\cdot (x-x_{1})+y_{1}.}

Eine Funktion

f {\displaystyle f}

mit

f ( x ) = m x + n {\displaystyle f(x)=mx+n}

heißt lineare Funktion. Im Fall

m ≠ 0 {\displaystyle m\neq 0}

wird „ganzrationale Funktion 1. Grades“ oder „Polynom 1. Grades“ als Bezeichnung verwendet. Die graphische Darstellung des Funktionsgraphen ist eine Gerade. Schnittpunkt

P {\displaystyle P}

mit der

x {\displaystyle x}

-Achse:

P ( x P | 0 ) ⇒ f ( x P ) = 0 {\displaystyle P(x_{P}|0)\Rightarrow f(x_{P})=0}

Schnittpunkt

Q {\displaystyle Q}

mit der

y {\displaystyle y}

-Achse:

Q ( 0 | y Q ) ⇒ y Q = f ( 0 ) {\displaystyle Q(0|y_{Q})\Rightarrow y_{Q}=f(0)}

Die Steigung $tan ⁡ α {\displaystyle \tan \alpha }$ des Graphen einer linearen Funktion $f {\displaystyle f}$ lässt sich wegen $tan ⁡ α = m {\displaystyle \tan \alpha =m}$ vom Koeffizienten in der Funktionsgleichung $f ( x ) = m x + n {\displaystyle f(x)=mx+n}$ ablesen.

Aus den Koordinaten zweier Punkte der Geraden wird sie so berechnet:

tan ⁡ α = f ( x 2 ) − f ( x 1 ) x 2 − x 1 = y 2 − y 1 x 2 − x 1 = Δ y Δ x {\displaystyle \tan \alpha ={\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {\Delta y}{\Delta x}}}

Funktionsgleichung aufstellen

Die Steigung $m {\displaystyle m}$ und ein Punkt $P 1 ( x 1 | y 1 ) , {\displaystyle P_{1}(x_{1}|y_{1}),}$ der auf der Geraden liegt, seien bekannt.

Ansatz:

f ( x ) = m x + n {\displaystyle f(x)=mx+n}

P 1 ( x 1 | y 1 ) ⇒ f ( x 1 ) = y 1 ⇒ m x 1 + n = y 1 ⇒ n = y 1 − m x 1 {\displaystyle P_{1}(x_{1}|y_{1})\quad \Rightarrow \quad f(x_{1})=y_{1}\quad \Rightarrow \quad mx_{1}+n=y_{1}\quad \Rightarrow \quad n=y_{1}-mx_{1}}

Die Koordinaten zweier Punkte $P 1 ( x 1 | y 1 ) {\displaystyle P_{1}(x_{1}|y_{1})}$ und $P 2 ( x 2 | y 2 ) , {\displaystyle P_{2}(x_{2}|y_{2}),}$ die auf der Geraden liegen, seien bekannt.

Zuerst wird der Steigungsfaktor

m = y 2 − y 1 x 2 − x 1 {\displaystyle m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}}

berechnet, dann damit

n {\displaystyle n}

P 1 ( x 1 | y 1 ) ⇒ f ( x 1 ) = y 1 ⇒ m x 1 + n = y 1 ⇒ n = y 1 − m x 1 {\displaystyle P_{1}(x_{1}|y_{1})\quad \Rightarrow \quad f(x_{1})=y_{1}\quad \Rightarrow \quad mx_{1}+n=y_{1}\quad \Rightarrow \quad n=y_{1}-mx_{1}}

oder

P 2 ( x 2 | y 2 ) ⇒ f ( x 2 ) = y 2 ⇒ m x 2 + n = y 2 ⇒ n = y 2 − m x 2 {\displaystyle P_{2}(x_{2}|y_{2})\quad \Rightarrow \quad f(x_{2})=y_{2}\quad \Rightarrow \quad mx_{2}+n=y_{2}\quad \Rightarrow \quad n=y_{2}-mx_{2}}

Schnittpunkt zweier Geraden

Ansatz:

f ( x ) = g ( x ) {\displaystyle f(x)=g(x)}

Die Lösung

x S {\displaystyle x_{S}}

dieser Gleichung ist die

x {\displaystyle x}

-Koordinate des Schnittpunktes der beiden Geraden.

y S = f ( x S ) = g ( x S ) {\displaystyle y_{S}=f(x_{S})=g(x_{S})}

ist dann die

y {\displaystyle y}

-Koordinate dieses Schnittpunktes

S ( x S | y S ) . {\displaystyle S(x_{S}|y_{S}).}

Orthogonale Geraden

Für die Steigungen

m 1 {\displaystyle m_{1}}

und

m 2 {\displaystyle m_{2}}

zweier senkrecht aufeinander stehender Geraden

g 1 {\displaystyle g_{1}}

und

g 2 {\displaystyle g_{2}}

gilt:

m 1 ⋅ m 2 = − 1 {\displaystyle m_{1}\cdot m_{2}=-1}

m 1 = − 1 m 2 {\displaystyle m_{1}=-{\frac {1}{m_{2}}}}

m 2 = − 1 m 1 {\displaystyle m_{2}=-{\frac {1}{m_{1}}}}

Die Ableitung von $f ( x ) = m x + n {\displaystyle f\left(x\right)=mx+n}$ ist $f ′ ( x ) = m . {\displaystyle f'\left(x\right)=m.}$ $f ′ {\displaystyle f'}$ ist also immer eine konstante Funktion, da die Ableitung einer Funktion die Steigung ihrer Tangente im Punkt $P ( x | f ( x ) ) {\displaystyle P\left(x|f(x)\right)}$ angibt.

Stammfunktionen von $f {\displaystyle f}$ haben die Gestalt $F ( x ) = m 2 x 2 + n x + c . {\displaystyle F(x)={\frac {m}{2}}x^{2}+nx+c.}$ Dies lässt sich folgendermaßen zeigen:

F ′ ( x ) = ( m 2 x 2 + n x + c ) ′ = m 2 ⋅ ( x 2 ) ′ + n ⋅ ( x ) ′ + 0 = m 2 ⋅ 2 x + n = m x + n = f ( x ) {\displaystyle F'(x)=\left({\frac {m}{2}}x^{2}+nx+c\right)'={\frac {m}{2}}\cdot \left(x^{2}\right)'+n\cdot (x)'+0={\frac {m}{2}}\cdot 2x+n=mx+n=f(x)}

Ist bei einer Funktion $f ( x ) = m x + n {\displaystyle f(x)=mx+n}$ der Koeffizient $m {\displaystyle m}$ positiv, so gilt $lim x → − ∞ f ( x ) = − ∞ {\displaystyle \lim _{x\to -\infty }f(x)=-\infty }$ und $lim x → ∞ f ( x ) = ∞ . {\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=\infty .}$ Der Graph entwickelt sich von „unten links“ nach „oben rechts“. Ist $m {\displaystyle m}$ jedoch negativ, gilt $lim x → − ∞ f ( x ) = ∞ {\displaystyle \lim _{x\to -\infty }f(x)=\infty }$ und $lim x → ∞ f ( x ) = − ∞ . {\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=-\infty .}$ Der Graph verläuft also von „oben links“ nach „unten rechts“. Beim Sonderfall $m = 0 {\displaystyle m=0}$ liegt eine konstante Funktion vor, es gilt also $lim x → − ∞ f ( x ) = lim x → ∞ f ( x ) = n , {\displaystyle \lim _{x\to -\infty }f(x)=\lim _{x\to \infty }f(x)=n,}$ der Graph verläuft in diesem Fall parallel zur $x {\displaystyle x}$ -Achse.

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Wikibooks: $M A T H E μ α T R i x {\displaystyle {\begin{smallmatrix}{\mathbf {MATHE} \mu \alpha T\mathbb {R} ix}\end{smallmatrix}}}$ : Mathematik für die Schule