Hallo. Es geht um die Symmetrie von Funktionsgraphen und da können wir uns erstmal ansehen, wie so ein symmetrischer Funktionsgraph eigentlich aussieht. Dann werden wir zwei Formeln kennenlernen, mit denen man die Symmetrie von Funktionsgraphen nachweisen kann. Und hinterher überlegen wir uns noch, warum diese Formeln gelten. Hier ist erstmal ein Koordinatensystem. Und hier ist ein Funktionsgraph. Dieser Funktionsgraph ist achsensymmetrisch zur y-Achse. Und das bedeutet anschaulich, wenn wir den Graphen an der y-Achse spiegeln, und das mache ich hier mal durch drehen der Folie, entlang der y-Achse, dann sieht alles genauso aus wie vorher. Genauer gesagt, der gespiegelte Graph ist mit dem Funktionsgraphen deckungsgleich. Jetzt habe ich ja so aufdringlich betont, dass es um die Achsensymmetrie zur y-Achse geht. Woraus sich die Fragen ergeben: Gibt es noch eine andere Symmetrie als die Achsensymmetrie? Und gibt es eine Achsensymmetrie zu einer anderen als der y-Achse? Und die Antworten sind ja, ja. Der Funktionsterm der Funktion mit diesem Graphen ist f1(x)=0,05x4-0,7x2+1. Wir können nun einen weiteren Funktionsterm aufschreiben, zum Beispiel f2(x)=0,05(x+3)4-0,7(x+3)2+1+1. Der Graph dieser Funktion ist um drei Einheiten nach links und um eine Einheit nach oben verschoben. Symmetrisch ist der Graph immer noch. Nur eben nicht zur y-Achse, sondern zu der Parallelen zur y-Achse x=-3. Wir haben jetzt einen Graphen gesehen, deren Funktion symmetrisch ist, aber nicht zur y-Achse. Und jetzt fehlt uns noch eine Funktion, deren Graph symmetrisch ist, aber nicht achsensymmetrisch. Hier ist der Graph einer Funktion. Dieser ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. Was anschaulich bedeutet, wenn man diesen Graphen um 180 Grad um den Koordinatenursprung herumdreht, sieht alles aus wie vorher. Genauer gesagt, der gedrehte Graph ist mit dem Funktionsgraphen deckungsgleich. Und auch hier ergibt sich wieder eine Frage, nämlich gibt es Graphen die punktsymmetrisch sind, aber nicht zum Koordinatenursprung? Na ja, wir haben vorhin einen Graphen verschoben, das können wir jetzt mit sehr ähnlichen Mitteln wieder machen, dann bleibt die Symmetrie erhalten, verschiebt sich aber mit. Antwort ist also: Ja! Der Funktionsterm der Funktion mit diesem Graphen ist f1(x)=0,3x2-2x. Wir können nun einen weiteren Funktionsterm, zum Beispiel: f2(x)=0,3(x-2)3-2(x-2)-1. Der Graph dieser Funktion ist um zwei Einheiten nach rechts und um eine Einheit nach unten verschoben. Auch dieser Graph ist punktsymmetrisch und zwar Punkt (2|-1). Und hier kann man das sehen, wenn man diesen Graph um diesen Punkt dreht, ist dieser Graph deckungsgleich mit dem Funktionsgraphen. In der Schulmathematik spielen im Wesentlichen zwei Symmetrien eine Rolle, nämlich die Achsensymmetrie zur y-Achse und die Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung. Und die können wir nachweisen mit den zwei angekündigten kleinen Formeln. Es gelten nämlich die folgenden Sätze. Der Graph einer Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung genau dann, wenn für alle x gilt f(x)=-f-(-x). Der Graph einer Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse genau dann, wenn für alle x gilt f(x)=f(-x). Das was du gerade gesehen hast, habe ich dir als Sätze verkauft. Das heißt wir müssen uns überlegen, wie man diese Sätze beweisen kann. Man kann aber das gesehene auch als Definition der Symmetrie auffassen. Dann müssen wir uns überlegen, ob diese Definitionen das sinnvoll wiederspiegeln, was wir unter Symmetrie verstehen. Wie so oft in der Mathematik, kann man nicht klären, was es genau ist. Je nach Aufbau ist es das eine oder das andere. So, was machen wir da? Naja, es geht letztlich um diese beiden Formeln. Wir können uns als erstes überlegen, ob diese Formeln gelten, wenn ein Graph symmetrisch ist. Hier haben wir einen zur y-Achse symmetrischen Graphen. Und hier ist zum Beispiel ein x, der zugehörige Punkt ist hier. Und wir können an der y-Achse den Funktionswert ablesen, der ist hier. Auf der gegenüberliegenden Stelle, also bei –x. –x ist jetzt positiv, weil x negativ ist. Dann haben wir den zugehörigen Punkt des Graphen. Und dann können wir hier sehen, dass der Funktionswert an dieser Stelle genau so groß ist. Es gilt also f(x)=f(-x). Das ist hier. Wir haben hier einen Graphen, der punksymmetrisch zum Koordinatenursprung ist und hier ist zum Beispiel ein x, warum nicht? Hier ist der zugehörige Punkt des Graphen und hier kann man den Funktionswert ablesen. Auf der gegenüberliegenden Stelle, also hier bei –x ist das sehr ähnlich, der zugehörige Punkt des Graphen ist hier. Und hier können wir den Funktionswert ablesen. Wir sehen jetzt, dass der Funktionswert hier bei f(x) die Gegenzahl des Funktionswertes bei –x ist. Es gilt also, f(x)=-f(-x). Ja, und jetzt fehlt uns noch andere Richtung. Das heißt wir müssen zeigen, wenn diese Formel gilt, ist der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse. Und wenn diese Formel gilt, ist der Graph punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. Angenommen es gilt f(x)=f(-x), dann haben wir zum Beispiel ein x und der zugehörige Punkt des Graphen könnte zum Beispiel hier sein, bei –x, also zum Beispiel bei -2 ist der Funktionswert gleich und der Punkt des Graphen könnte hier sein. Wir könnten auch sagen, x=-1, dann können wir uns einen Punkt des Graphen zum Beispiel hier vorstellen. Bei –x, das ist dann also 1, ist der Punkt des Graphen in der gleichen Höhe, hat also den gleichen y-Wert. Naja, und so könnte das jetzt weitergehen. Und wir sehen nun, dass wir so einen achsensymmetrischen Graphen erhalten. Und hier ist der Beweis. Angenommen es gilt f(x)=-f(-x), dann können wir uns folgendes vorstellen, x könnte zum Beispiel mal -2 sein und der Einfachheit halber sag ich jetzt mal der Funktionswert an dieser Stelle soll -2 sein. –x ist dann 2, der Funktionswert an dieser Stelle muss dann laut Formel gleich 2 sein, wenn wir ein Minuszeichen davor schreiben, erhalten wir -2. Das ist hier. Und das ist dann gleich f(x). Und so kann das jetzt weitergehen und wie wir sehen erhalten wir so einen Funktionsgraphen, der punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung ist. Und hier ist der Beweis. So, dann sind wir hier fertig. Wir haben gesehen, was Punktsymmetrie ist und was Achsensymmetrie ist. Und wir haben auch gesehen, dass diese beiden Schätzchen hier genau das wiedergeben, was wir unter Symmetrie verstehen. Viel Spaß damit. Tschüss.
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Eine Funktion ist genau dann Achsensymmetrisch zur Damit der Graph einer Funktion achsensymmetrisch zur -Achse ist, muss gelten: Bei ganzrationalen Funktionen, also Funktionen der Form kann man spezielle Symmetrien auf einen Bilck erkennen. Hat das ausmultiplizierte Polynom ausschließlich gerade Exponenten, besteht Symmetrie zur -Achse. Ist
Wir setzen erst
Was wir im vorherigen Abschnitt gelernt haben, ist ein guter Einstieg in das Thema “Symmetrie” und stellt recht plakativ dar worauf es ankommt. Wenn wir Achsensymmetrie nachweisen wollen, wählen wir eine Achse - entlang der wir Symmetrie vermuten - und prüfen ob diese vorliegt. Bislang haben wir dazu die Nun sind Funktionen nicht immer entlang der -Achse symmetrisch. Die bislang verwendete Bedingung ist also nur für diesen einen Spezialfall (Symmetrieachse bei ) gültig. Für alle anderen vertikalen Achsen verwenden wir folgenden Merksatz um Symmetrie zu überprüfen: Der Graph der Funktion ist genau dann symmetrisch zu der Achse Wir haben in diesem Abschnitt schon mehrmals über vermutete Symmetrieachsen gesprochen. Da der obere Merksatz nur dazu da ist Symmetrie entlang einer potenziellen Symmetrieachse zu prüfen, müssen wir zuvor überlegen welche Achsen in Frage kommen. Dazu haben wir folgende Optionen:
Setze einfach die angegebene Achsengleichung  Option b) Schaue dir an um welchen Wert die Funktion in -Richtung verschoben wurde. Die Achse mit der Gleichung ist ein guter Kandidat für eine Achsensymmetrie. Wenn du dir bei diesem Thema noch unsicher bist, schaue dir gerne den Artikel Graphen verschieben und spiegeln an. Option c) Berechne die Extremstellen der Funktion. Ist der Graph der Graph der Funktion Die Berechnung der Extremstellen bedeutet zwar mehr Rechenaufwand, kann jedoch immer angewendet werden. Brauchst du einen guten Lernpartner? 50.000 zufriedene Kursteilnehmer 100% Geld-zurück-Garantie 350-seitiges Kursbuch inkl.
Eine weitere Form der Symmetrie ist die Punktsymmetrie, auch Zentralsymmetrie genannt. Hier wird eine Funktion nicht entlang einer Achse sondern über einen Punkt gespiegelt. Eine Funktion gilt als punktsymmetrisch, wenn sie durch eine Spiegelung am Symmetriepunkt auf sich selbst abgebildet wird. Dreht man den roten Teil des Graphens 180° um den Symmetriepunkt und erhält den blauen, ist die Funktion punktsymmetrisch. Diese graphische Betrachtung wird uns in einer Aufgabe aber leider nicht helfen Punktsymmetrie nachzuweisen. Deshalb gibt es folgenden Merksatz: Gilt dann ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Bei ganzrationalen Funktionen, also Funktionen der Form kann man spezielle Symmetrien auf einen Bilck erkennen. Hat das ausmultiplizierte Polynom ausschließlich ungerade Exponenten, ist die Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung. Ist der Graph von
Wir überprüfen die Bedingung
Der Graph einer Funktion kann auch punktsymmetrisch zu einem beliebigen Punkt im Koordinatensystem sein. Hier verfahren wir ähnlich wie beim Abschnitt "Achsensymmetrie zu einer beliebigen Achse". Auch hier wird beim Überprüfen die Funktion auf den Ursprung zurück geführt und getestet ob sie dort symmetrisch ist. So ist zum Beispiel Der Graph einer Funktion ist genau dann Symmetrisch zu dem Punkt Ist der Graph von
Um einen Kandidaten zu finden bestimmen wir zunächst die Wendestelle der Funktion. Diese finden wir durch die Nullstellen der 2. Ableitung. In diesem Fall ist die Wendestelle Brauchst du einen guten Lernpartner? 50.000 zufriedene Kursteilnehmer 100% Geld-zurück-Garantie 350-seitiges Kursbuch inkl. Endlich konzentriert lernen? 50.000 zufriedene Kursteilnehmer 100% Geld-zurück-Garantie 350-seitiges Kursbuch inkl. |
Zu welcher geraden sind die Graphen von f symmetrisch
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