Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür dass bei 6000?

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1. Ausführliche Lösung:
2. Ausführliche Lösungen
3. Ausführliche Lösungen
4. Ausführliche Lösungen
5. Ausführliche Lösungen
6. Ausführliche Lösung
7. Ausführliche Lösung
8. Ausführliche Lösungen

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Gemessen hast du schon jede Menge.

Längen
Um eine Strecke zu messen, legst du ein Maßband an die Strecke an. Am Maßband stehen die Einheiten. Du liest beispielsweise 2 m ab.

Füllmengen
Beim Oktoberfest in Bayern gibt es Maßkrüge. Sie fassen einen Liter Flüssigkeit. Hier dient die Anzahl der Maß als Angabe über die Anzahl der vollen Krüge.

Zufallsexperimente
Bei einem Zufallsexperiment können die Ausgänge verschieden wahrscheinlich sein. Deshalb gibt es auch hier ein Maß, um zu messen, wie wahrscheinlich der Ausgang ist. Dabei bekommt jedes Ergebnis eines Zufallsexperiments eine Zahl zugeordnet, die angeben soll, wie wahrscheinlich das Auftreten des Ergebnisses ist.

Das Gute ist, es gibt bei diesem Maß Grenzen. Es können nur Zahlen zwischen 0 und 1 vorkommen.

Ordnet man jedem Ergebnis eines Zufallsexperimentes die Wahrscheinlichkeit des Eintreffens zu, so bezeichnet man dies als Maß der Wahrscheinlichkeit.

Geschenke verteilen
Lisa und Quan sind Klassensprecher der 7a. In der letzten Stunde vor den Weihnachtsferien sollen alle Schülerinnen und Schüler für einen gezogenen Schüler ein Geschenk mitbringen. Damit das ganze zufällig geschieht haben Lisa und Quan alle Namen der Schüler auf einen Zettel geschrieben. Nacheinander ziehen nun alle Schülerinnen und Schüler einen Namen. Am Ende der Ziehung werden alle Schülerinnen und Schüler verteilt sein.

Es gibt keinen Fall, dass ein Schüler einen Namen aus einer anderen Klasse gezogen hat. Dies ist nicht möglich. Deshalb beträgt hier die Wahrscheinlichkeit 0%. Alle Schüler sind verteilt. Das heißt, alle haben mit Sicherheit einen Namen gezogen. Die Wahrscheinlichkeit beträgt also 100%, ein Geschenk zu bekommen.

Würfeln Bei jedem Wurf mit dem Spielwürfel erscheint eine Ziffer zwischen 1 und 6. Die 7 wird kannst du nie würfeln.

Somit erscheint in 100% der Fällen eine Ziffer zwischen 1 und 6 und in 0% der Fälle (niemals) eine 7.

Die Wahrscheinlichkeit für einen Ausgang eines Zufallsexperiments heißt Einzelwahrscheinlichkeit. Bei jedem Zufallsexperiment ergibt die Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten 100%.
Denk daran: $$ 0%= \frac 0 100 = 0 $$ und $$100% = \frac 100 100 = 1 $$.

Die Wahrscheinlichkeiten zu einem Zufallsexperiment lassen sich wie Kuchenstücke in ein Kreisdiagramm eintragen. Ein ganzer Kuchen entspricht 100%.

In der Wahrscheinlichkeitsrechnung nutzt man nicht nur Prozentangaben für die Angabe der Einzelwahrscheinlichkeiten. Man wandelt diese auch in Brüche bzw. Dezimalzahlen um.

Das kennst du schon von der Prozentrechnung.
Beispiel: $$1/2=0,5=50$$ $$%$$.

Würfeln
Die Wahrscheinlichkeit, eine 1 zu würfeln, trifft in einem von 6 Fällen zu. Das heißt, das Wahrscheinlichkeitsmaß beträgt $$1/6$$. Dies entspricht der Dezimalzahl $$ 0,1 \bar 6 $$ oder $$ 16,\bar 6 %$$.

Wie du siehst, vermeidet man nur bei den Brüchen eine periodische Zahl.

Die Einzelwahrscheinlichkeiten können als Bruch, Prozentzahl oder Dezimalzahl angegeben werden. Je nach Zufallsversuch ist eine Darstellung besser als die andere.
$$1/5=0,2=20$$ $$%$$

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Bei einfachen nicht-periodischen Dezimalzahlen zählst du die Stellen nach dem Komma. Nun schreibst du die Dezimalzahl ohne 0, als Zähler des Bruches. Im Nenner ergänzt du nun eine 1 und ergänzt die gezählten Stellen mit einer 0.

Beispiel: Von $$0,25$$ zu $$ \frac 1 4 $$

$$0,25$$	Die Zahl hat 2 Nachkommastellen.	1. Zählen
$$ \frac 25 $$	Die Zahl auf 25 im Zähler ergänzen	2. Zähler Schreiben
$$ \frac 25 100$$	1 mit zwei Nullen im Nenner ergänzen	3. Nenner Ergänzen
$$ \frac {25:25} {100:25} $$	Kürzen nicht vergessen	4. Kürzen
$$ \frac 1 4$$	Fertig!	5. Ergebnis

Um von einer Dezimalzahl zur Prozentangabe zu gelangen, verschiebst du das Komma der Dezimalzahl um 2 Stellen nach rechts. Fehlt dort eine Ziffer, so ergänzt du eine Null. Setze das % dahinter.

Beispiel: 0,3 = 30%

0,3 0	Ergänzen der 0
030 ,	Verschieben des Kommas
30 %	Prozentzeichen nicht vergessen

Beispiel: 0,455=45,5%

0,455	Kein Ergänzen nötig
045 , 5	Verschieben des Kommas
45,5 %	Prozentzeichen nicht vergessen

Du erweiterst den Bruch so lange, bis du im Nenner auf 10, 100, 1000 usw. gelangst. Setze vor den Zähler eine 0 und ein Komma und schreibe die Ziffern des Zählers dahinter.

Beispiel: $$ \frac 1 5 = 0,2 $$

$$ \frac {1 cdot 2} {5 \cdot 2} $$	auf 10tel erweitern
$$ \frac 2 10 $$	berechnen
0, 2	0 schreiben und Zähler ergänzen

$$ \frac 1 5 $$ ist dasselbe wie $$0,2$$.
Die Zahl $$0,2$$ kannst du schon umwandeln in 20%.

Der Taschenrechner kann Brüche in Dezimalzahlen verwandeln durch das Tippen auf die b/c Taste oder die S <=> D Taste. Dies ist aber bei den Taschenrechner verschieden.

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1.Erklären Sie die Begriffe Bernoulli-Experiment, Trefferwahrscheinlichkeit, Bernoullikette und Länge einer Bernoullikette.

1. Ausführliche Lösung:

Ein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsexperiment, das nur zwei Ergebnisse hat. Die Ergebnisse werden Erfolg (Treffer) oder Misserfolg (kein Treffer) genannt.
Die Trefferwahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (p).
Eine Bernoullikette entsteht, wenn dasselbe Bernoulli-Experiment mehrmals nacheinander ausgeführt wird.
Die Länge einer Bernoullikette gibt an, wie oft das einzelne Experiment nacheinander ausgeführt wird.

Beispiel:

Eine Münze wird 100 mal nacheinander geworfen. Der Münzwurf ist ein Bernoulli-Experiment, es gibt zwei Ergebnisse, Zahl und Kopf. Die Trefferwahrscheinlichkeit ist p = 0,5. Da der Münzwurf 100 mal wiederholt wird, spricht man bei diesem Experiment von einer Bernoullikette. Die Länge dieser Bernoullikette beträgt n = 100.

2.Bei welchen der folgenden Zufallsexperimente handelt es sich um Bernoulliketten?

Geben Sie, wenn möglich, die Trefferwahrscheinlichkeit p und die Länge n der Bernoullikette an.a)Ein Würfel wird dreimal geworfen und die Anzahl der Sechsen notiert.b)Ein Würfel wird dreimal geworfen und die Augensumme notiert.c)Aus einer Urne mit 3 weißen und 7 roten Kugeln wird so lange ohne Zurücklegen gezogen, bis die erste rote Kugel erscheint.d)Aus einer Urne mit 3 weißen und 7 roten Kugeln wird 4- mal mit Zurücklegen jeweils eine Kugel gezogen.e)Bei einem Glücksrad erscheint in 50% aller Fälle eine 1, in jeweils 25% der Fälle eine 2 bzw. eine 3. Das Rad wird 4- mal gedreht und die Ziffern als 4-stellige Zahl notiert.f)Das Glücksrad aus (e) wird achtmal gedreht. Jedes Mal, wenn die 3 erscheint, erhält man 10 Cent.

g)Das Glücksrad aus (e) wird so oft gedreht, bis die 3 erscheint, höchstens jedoch fünfmal.

2. Ausführliche Lösungen

a)Es handelt sich um eine Bernoullikette der Länge n = 3. Als Treffer bezeichnet man das Ereignis 6. Die Trefferwahrscheinlichkeit ist in jeder Stufe gleich p = 1/6.
b)Es handelt sich um keine Bernoullikette, da es in jeder Stufe 6 verschiedene Ergebnisse geben kann. { 1; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 }. Für eine Bernoullikette dürften es nur zwei sein.
c)Es handelt sich um keine Bernoullikette, da die Kugeln nicht zurückgelegt werden und sich dadurch die Wahrscheinlichkeit von Stufe zu Stufe ändert. Für eine Bernoullikette muss die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer in jeder Stufe gleich sein.
d)Es handelt sich um eine Bernoullikette der Länge n = 4. Die Wahrscheinlichkeit für Treffer weiß ist durch das Zurücklegen konstant p = 3/10, für Treffer rot p = 7/10.
e)Es handelt sich um keine Bernoullikette, da es in jeder Stufe drei Ergebnisse geben kann { 1 ; 2 ; 3 }. Für eine Bernoullikette darf es nur zwei Ergebnisse pro Stufe geben.
f)Es handelt sich um eine Bernoullikette der Länge n = 8. Als Treffer wird die Zahl 3 mit p = 0,25 festgelegt. In jeder Stufe bleibt die Wahrscheinlichkeit konstant.
g)Es handelt sich um eine Bernoullikette mit nichtfestgelegter Länge. Als Treffer wird die Zahl 3 mit der Wahrscheinlichkeit p = 0,25 festgelegt. Die maximale Kettenlänge beträgt 5.

3.Ein Glücksrad hat 3 gleich große Sektoren mit den Symbolen Kreis, Kreuz und Stern. Es wird viermal gedreht. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse?

A:Es tritt dreimal Stern auf.B:Es tritt mindestens dreimal Stern auf.C:Es tritt höchstens einmal Stern auf.

D:Es tritt höchstens dreimal Stern auf.

3. Ausführliche Lösungen

Hier finden Sie die Lösungen mit dem Casio fx-CG 20 und Casio fx-CG 50 hierzu.

A:Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau dreimal Stern auftritt, ist 0,0988.

B:Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens dreimal Stern auftritt, ist 0,1111….

C: Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass höchstens einmal Stern auftritt,ist 0,5926.

D: Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass höchstens dreimal Stern auftritt,ist 0,9877.

4.Von einer großen Ladung Apfelsinen sind 20% verdorben. Es werden 5 Stück entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse:

A:Eine Apfelsine ist verdorben.B:Alle Apfelsinen sind in Ordnung.

C:Mindestens zwei Apfelsinen sind verdorben.

4. Ausführliche Lösungen

Hier finden Sie die Lösungen mit dem Casio fx-CG 20 und Casio fx-CG 50 hierzu.

A: Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau eine Apfelsine verdorben ist, ist 0,4096.

B: Alle Apfelsinen sind in Ordnung, bedeutet, keine Apfelsine ist verdorben.

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass alle Apfelsinen in Ordnung sind, ist 0,32768.

C: Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens zwei Apfelsinen verdorben sind, ist 0,26272.

5.Die Wahrscheinlichkeit für die Geburt eines Mädchens beträgt 0,49, für die Geburt eines Jungen 0,51. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Familie mit 4 Kindern

A:genau zwei Mädchen sind?
B:höchstens 3 Mädchen sind?

5. Ausführliche Lösungen

Hier finden Sie die Lösungen mit dem Casio fx-CG 20 und Casio fx-CG 50 hierzu.

A: Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in der Familie genau zwei Mädchen sind, ist 0,3747.

B: Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in der Familie höchstens drei Mädchen sind, ist 0,9424.

6.Wie oft muss man eine Münze mindestens werfen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99% mindestens einmal Kopf zu erhalten?

6. Ausführliche Lösung

Hier finden Sie die Lösungen mit dem Casio fx-CG 20 und Casio fx-CG 50 hierzu.

Die Wahrscheinlichkeit für Kopf und Zahl sei gleich ( p = 0,5).Das Gegenereignis von mindestens einmal Kopf ist keinmal Zahl.

Die Münze muss mindestens 7 mal geworfen werden, um mit einer Sicherheit von mindestens 99% mindestens einmal Kopf zu erhalten.

7.Wie oft muss man mindestens Würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% mindestens eine Sechs zu bekommen?

7. Ausführliche Lösung

Hier finden Sie die Lösungen mit dem Casio fx-CG 20 und Casio fx-CG 50 hierzu.

A: Mindestens eine 6 bei n Würfen. E = { 1; 2 ; 3 ; … n } p = 1/6
Das Gegenereignis von A lautet: Keine 6 bei n Würfen.

Man muss mindestens 13 mal würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% mindestens eine 6 zu werfen.

8.Ein Würfel wird 60 mal geworfen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse:

A:Man wirft genau 10 mal die 6.B:Man wirft mindestens 10 mal die 6.C:Man wirft höchstens 10 mal die 6.D:Die Anzahl der geworfenen Sechser liegt zwischen 6 und 12 einschließlich.E:Man wirft mehr als 4 und weniger als 15 Sechser.F:Die Augenzahl ist in weniger als 25 Fällen ungerade.G:Die Augenzahl ist in mehr als 30 Fällen gerade.

H:Es treten mehr als 25 und weniger als 35 ungerade Augenzahlen auf.

8. Ausführliche Lösungen

Hier finden Sie die Lösungen mit dem Casio fx-CG 20 und Casio fx-CG 50 hierzu.

A:Man wirft genau 10 mal die 6.

B:Man wirft mindestens 10 mal die 6.

C:Man wirft höchstens 10 mal die 6.

D:Die Anzahl der geworfenen Sechser liegt zwischen 6 und 12 einschließlich.

E:Man wirft mehr als 4 und weniger als 15 Sechser.

F:Die Augenzahl ist in weniger als 25 Fällen ungerade.

G:Die Augenzahl ist in mehr als 30 Fällen gerade.

H:Es treten mehr als 25 und weniger als 35 ungerade Augenzahlen auf.

Hier finden Sie die Aufgaben hierzu.

Hier finden Sie eine Übersicht über alle Beiträge zum Thema Wahrscheinlichkeitsrechnung, darin auch Links zu den Aufgaben Binominalverteilung II bis V.