Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit mit zwei würfeln mindestens eine 6 zu würfeln?

W�rfeln mit 2 W�rfeln: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die W�rfelsumme (Augensumme) genau 7 ergibt – oder 4? Mit welcher Wahrscheinlichkeit ergibt die Summe mindestens 7 – oder h�chstens 4?

Dieser Online-Rechner errechnet eine Wahrscheinlichkeitstabelle f�r W�rfelsummen: Wahlweise mit den Wahrscheinlichkeiten aller W�rfelsummen (Augensummen), die bei einer bestimmten Zahl von W�rfeln fallen k�nnen (z.B. 2 bis 12 bei zwei W�rfeln), oder mit den Wahrscheinlichkeiten der Mindest- oder Maximalsummen, die beim W�rfeln fallen k�nnen.

W�hlen Sie dazu die Anzahl der W�rfel, mit denen gew�rfelt werden soll (bis zu 10 gleichzeitig), und ob die Wahrscheinlichkeiten f�r die genauen W�rfelsummen berechnet werden sollen, oder f�r die Mindest- oder Maximalwerte. Klicken Sie dann auf Berechnen.

Die Ergebnistabelle zeigt die m�glichen W�rfelsummen (Augensummen), die bei der gew�hlten Anzahl an W�rfeln fallen k�nnen, und die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten.

Mittels S�ulendiagramm wird die Wahrscheinlichkeitsverteilung anschaulich dargestellt: Ab zwei W�rfeln n�hert sich die Verteilung f�r die genauen Augensummen der Gau�schen Normalverteilung ("Gau�sche Glockenkurve"), wobei die mittleren Augenzahlen am wahrscheinlichsten sind. Dagegen folgt die Verteilung der Mindest- bzw. Maximalsummen einer klassischen Verteilungsfunktion, wobei die Wahrscheinlichkeit f�r den Mindestwert (z.B. Augensumme mindestens 2 bei 2 W�rfeln) bzw. den Maximalwert (Augensumme h�chstens 12 bei 2 W�rfeln) genau 100 % betr�gt.

Der Online-Rechner legt bei der Berechnung klassische 6-seitige, faire W�rfel zugrunde. Ein fairer W�rfel ist ein W�rfel, bei dem alle Augenzahlen mit gleicher Wahrscheinlichkeit fallen – der also richtig ausbalanciert und nicht gezinkt ist.

Die Wahrscheinlichkeit f�r eine bestimmte Augensumme ergibt sich aus der Anzahl der m�glichen W�rfelergebnisse, die zu dieser Augensumme f�hren (bei 2 W�rfeln gibt es z.B. 4 m�gliche Kombinationen, die zu einer 9 f�hren, siehe oben) geteilt durch die Gesamtzahl aller m�glichen W�rfelergebnisse. Beim W�rfeln mit 2 W�rfeln sind insgesamt 36 verschiedene W�rfelergebnisse m�glich. Analog ergibt sich die Wahrscheinlichkeit einer Mindestsumme ("7 oder mehr") aus der Summe aller m�glichen Einzelwahrscheinlichkeiten f�r diese Augensumme und alle dar�ber; analog f�r die Maximalsummen.

Mit dem Würfel aus Sicht der Wahrscheinlichkeitsrechnung / Stochastik befassen wir uns in diesem Artikel. Dies wird vor allem durch das Vorrechnen einiger Beispiele gezeigt. Dieser Artikel gehört zu unserem Bereich Mathematik.

Ein Würfel kennt eigentlich schon jeder aus dem realen Leben. Die meisten Würfel haben sechs verschiedene Seiten, die mit den Zahlen von 1 bis 6 durchnummeriert werden. Der prinzipielle Aufbau eines Würfel sieht wie folgt aus.

Sofern an dem Würfel nichts manipuliert wurde bzw. bei dessen Herstellung nichts schief gelaufen ist, ist die Wahrscheinlichkeit die Zahl 1 zu würfeln genauso groß wie eine der anderen Zahlen zu Würfeln. Und damit sind wir auch schon Mitten im Thema Stochastik/Wahrscheinlichkeit.

Baumdiagramm Würfel

Beginnen wir zunächst mit Berechnungen der Wahrscheinlichkeiten für einen Würfel, der völlig in Ordnung ist. Die Wahrscheinlichkeit für alle Zahlen auf dem Würfel - also das Würfeln dieser - ist gleich groß. Der Würfel hat sechs Seiten, damit ist die Wahrscheinlichkeit die Zahl 1 zu Würfeln ein Sechstel ( 1/6 ) bzw. bei der Zahl 5 ist diese ebenfalls ein Sechstel ( 1/6 ). So etwas zeichnet man in der Mathematik oftmals in ein Baumdiagramm ein. Für einen Wurf mit einem Würfel mit sechs Seiten sieht ein Baumdiagramm so aus.

Die Wahrscheinlichkeit für alle Zahlen ist also gleich groß. Dies kann man aus der eben gezeigten Grafik entnehmen. Und damit kann man nun arbeiten, was mit den folgenden Beispielen verdeutlicht werden soll:

1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit die Zahl 3 zu würfeln? Lösung: Die Wahrscheinlichkeit beträgt 1/6.
2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit die Zahl 2 zu würfeln? Lösung: Die Wahrscheinlichkeit beträgt 1/6.
3. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit eine 1 oder 3 zu würfeln? Lösung: Die Wahrscheinlichkeit eine 1 zu würfeln beträgt 1/6, ebenso ist die Wahrscheinlichkeit eine 3 zu würfeln ebenfalls 1/6. Von den sechs Seiten stellen also zwei Seiten das gewünschte Ergebnis dar. Damit beträgt die Gesamtwahrscheinlichkeit 2/6.
4. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit eine gerade Zahl zu würfeln? Lösung: Die Zahlen 2, 4 und 6 sind gerade Zahlen. Somit sind 3 der 6 Würfelseiten mit geraden Zahlen versehen. Damit beträgt die Wahrscheinlichkeit 3/6.
5. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit eine ungerade Zahl zu würfeln? Lösung: Die Zahlen 1, 3 und 5 sind ungerade Zahlen. Somit sind 3 der 6 Würfelseiten mit ungeraden Zahlen versehen. Damit beträgt die Wahrscheinlichkeit 3/6.

In den bisherigen Beispielen wurde der Würfel nur einmal geworfen und die Wahrscheinlichkeit berechnet. Was passiert denn aber nun, wenn man mehrfach würfelt? Wie groß wäre also die Wahrscheinlichkeit zweimal am Stück eine sechs zu Würfel oder zweimal in Folge keine 3 zu würfeln? Dazu erweitern wir das Baumdiagramm um auch einen zweiten Wurf abzudecken. Da sich am Würfel nichts ändert, sieht dabei die zweite Stufe genauso aus wie die erste. Aus Platzgründen wird dieses Baumdiagramm etwas gekürzt dargestellt.

Um nun die Wahrscheinlichkeiten für zwei Würfe zu ermitteln, muss man die Wahrscheinlichkeiten des ersten Versuchs und des zweiten Versuchs multiplizieren. Auch hier einige Beispiele:

1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit erst eine 1 und dann eine 6 zu Würfeln. Lösung: Diese Wahrscheinlichkeit im ersten Versuch eine 1 zu würfeln beträgt 1/6. Im zweiten Versuch eine 6 zu würfeln ist ebenfalls mit 1/6 anzusetzen. Und multipliziert man diese beiden Brüche erhält man die Wahrscheinlichkeit zu 1/6 · 1/6 = 1/36
2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit erst eine 6 zu würfeln und dann keine 3 zu würfeln? Lösung: Diese ist im ersten Versuch für eine 6 mit 1/6 anzugeben. Die Wahrscheinlichkeit im zweiten Versuch keine 3 zu würfeln beträgt 5/6. Die Gesamtwahrscheinlichkeit liegt damit bei 1/6 · 5/6 = 5/36.

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Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit bei zwei Würfen eine 6 zu Würfeln?

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit mit 6 Würfeln eine 6 zu Würfeln?

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit mindestens eine 6 zu Würfeln?

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit mit 2 Würfeln?